Bất đẳng thức Ptoleme là trường hợp tổng quát của định lý Ptoleme đối với một tứ giác bất kỳ. Nếu AB CD là tứ giác bất kỳ thì

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tứ giác nội tiếp trong một đường tròn và trở thành định lý Ptolemye.

Chứng minh

Sử dụng tính chất tam giác đồng dạng và bất đẳng thức tam giác.

Dựng điểm E {\displaystyle E} sao cho △ B C D {\displaystyle \triangle BCD} đồng dạng với △ B E A {\displaystyle \triangle BEA} . Khi đó, theo tính chất của tam giác đồng dạng, ta có

B A E A = B D C D {\displaystyle {\frac {BA}{EA}}={\frac {BD}{CD}}}

Suy ra

B A . C D = E A . B D ( 1 ) {\displaystyle BA.CD=EA.BD(1)}

Mặt khác, △ E B C {\displaystyle \triangle EBC} và △ A B D {\displaystyle \triangle ABD} cũng đồng dạng do có

B A B D = B E B C {\displaystyle {\frac {BA}{BD}}={\frac {BE}{BC}}} và E B C ^ = A B D ^ {\displaystyle {\widehat {EBC}}={\widehat {ABD}}}

Từ đó

E C B C = A D B D {\displaystyle {\frac {EC}{BC}}={\frac {AD}{BD}}}

Suy ra

A D . B C = E C . B D ( 2 ) {\displaystyle AD.BC=EC.BD(2)}

Cộng (1) và (2) ta suy ra

A B ⋅ C D + A D ⋅ B C = B D ⋅ ( E A + E C ) {\displaystyle AB\cdot CD+AD\cdot BC=BD\cdot (EA+EC)}

Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta suy ra A B ⋅ C D + B C ⋅ D A ≥ A C ⋅ B D {\displaystyle {AB}\cdot {CD}+{BC}\cdot {DA}\geq {AC}\cdot {BD}}